PARBOABOA – Persamaan linear adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, seperti ilmu pengetahuan alam, ekonomi, teknik, dan banyak lagi.
Di sekolah, kelas VIII dan X biasanya mempelajari tentang persamaan linear sebagai bagian dari kurikulum matematika. Mereka belajar bagaimana menyusun dan menyelesaikan persamaan tersebut serta menginterpretasikan solusi matematis ke dalam konteks kehidupan sehari-hari.
Dengan menggunakan contoh soal persamaan linear, keterampilan dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan persamaan aljabar dapat ditingkatkan.
Setiap unsur dalam persamaan tersebut terdiri dari sebuah konstanta dan terhubung dengan sebuah variabel tunggal.
Dengan memahami peran konstanta dan variabel dalam persamaan linear, kita dapat menganalisis bagaimana perubahan nilai variabel mempengaruhi hasil persamaan, sehingga kita dapat menyelesaikan masalah dan merumuskan solusi secara lebih sistematis.
Pengertian dan Macam Sistem Persamaan Linear
Persamaan ini dinamakan linear karena kaitan matematika yang terkandung dapat direpresentasikan sebagai garis lurus dalam sistem koordinat kartesius.
Jika terdapat lebih dari satu persamaan linear, maka akan membentuk sebuah sistem persamaan.
Bentuk umum untuk persamaan linear
adalah:
rumus persamaan linear: y = mx + b
Terdapat beberapa macam sistem persamaan linear, yaitu:
1. Sistem Persamaan Linear Satu Variabel
Dilansir dari Buku Sistem Belajar Semalam: Ringkasan Materi & Kumpulan Rumus, oleh Puspa Swara. Persamaan linear satu variabel adalah suatu kalimat terbuka dengan satu variabel berpangkat satu yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=).
Adapun bentuk umumnya yakni:
ax + b = c
x merupakan variabel atau peubah.
a dan b adalah bilangan bulat bukan nol dan b konstanta.
2. Persamaan Linear Dua Variabel
Dikutip dari buku Matematika untuk SMP dan Mts Kelas VIII, oleh Budi Suryati, Sudigdo P, A. Henny Setyawan, R Susanto Dwi N. Persamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka yang memuat tanda, mempunyai dua buah variabel, seluruh variabelnya berpangkat satu, dan tidak memuat perkalian antara dua variabel.
Bentuk umumnya: ax + by = c
A dan b adalah bilangan bulat bukan nol dengan c adalah konstanta.
3. Persamaan Linear Tiga Variabel
Variabel dalam sistem persamaan ini berjumlah tiga berpangkat satu. Bentuk umumnya sebagai berikut:
ax + by + cz = d
a, b, dan c adalah bilangan bulat bukan nol dengan d adalah konstanta.
Contoh Soal Persamaan Linear
-
Contoh Soal Persamaan Linear Satu Variabel
Contoh Soal 1:
Tentukanlah solusi dari persamaan linear berikut:
3x −5=10
Cara Penyelesaian:
Langkah 1: Mari kita mulai dengan persamaan awal:
3x – 5 = 10
Langkah 2: Langkah pertama adalah mengisolasi variable x. Kita ingin mencari nilai x, jadi kita akan mencoba untuk menghilangkan konstanta (-5) dari sisi kiri persamaan dengan cara menambahkannya ke kedua sisi persamaan:
3x – 5 + 5 = 10 + 5.
Ini akan menghasilkan:
3x = 15.
Langkah 3: Sekarang, kita ingin memisahkan variabel x dari koefisien 3. Caranya dengan membagi kedua sisi persamaan dengan 3:
3x3 = 153
Ini akan menghasilkan:
x = 5
Contoh 2:
Contoh Soal:
Seorang pelanggan berbelanja di sebuah toko pakaian. Dia membeli sebuah baju seharga Rp 250,000 dan satu celana seharga Rp 400,000. Jika total belanjaan pelanggan tersebut adalah Rp 1,050,000, berapa banyak uang yang dimiliki pelanggan sebelum berbelanja?
Cara Penyelesaian:
Diketahui :
Baju: Rp250.000
Celana: Rp400.000
Total: Rp1,050,000
Ditanya: jumlah uang yang dimiliki pelanggan sebelumnya?
Jawab:
Asumsikan bahwa x adalah jumlah uang yang dimiliki pelanggan sebelum berbelanja.
250,000 + 400,000 + x = 1,050,000
x = 400,000
Jadi, pelanggan memiliki uang sebesar Rp 400,000 sebelum berbelanja.
-
Contoh Soal Persamaan Linear Dua Variabel
Contoh 1:
Seorang peternak memiliki dua jenis hewan ternak: sapi dan kambing. Dia menghitung total ada 35 hewan ternak di peternakannya. Total kaki dari semua hewan ternak tersebut adalah 100 kaki. Sapi memiliki 4 kaki, sedangkan kambing memiliki 2 kaki. Berapa banyak sapi dan kambing yang dimiliki oleh peternak tersebut?
Penyelesaian:
Gunakan x untuk menyatakan jumlah sapi dan y untuk menyatakan jumlah kambing.
Dari informasi yang diberikan:
- Jumlah total hewan ternak: x +y = 35
- Jumlah total kaki: 4x +2y = 100
Kita memiliki sistem persamaan linear dua variabel:
- x +y = 35
- 4x +2y = 100
Langkah 1: Substitusi atau eliminasi untuk menemukan nilai x atau y.
Misalnya, kita menggunakan metode substitusi. Dari persamaan pertama (x +y = 35), kita dapat mengisolasi x: x = 35 - y.
Kemudian substitusikan nilai x ke persamaan kedua: 4x + 2y = 100.
4(35 - y) + 2y = 100
140 - 4y + 2y = 100
-2y = -40
y = 20
Langkah 2: Hitung nilai x menggunakan nilai y yang ditemukan.
x + 20 = 35
x = 35 – 20
x = 15
Jadi, peternak tersebut memiliki 15 ekor sapi dan 20 ekor kambing.
Contoh 2:
Seorang petani memiliki ternak ayam dan kambing di peternakannya. Dia menghitung total ada 30 hewan ternak dan total jumlah kaki hewan ternak tersebut adalah 80 kaki. Ayam memiliki 2 kaki, sedangkan kambing memiliki 4 kaki. Berapa banyak ayam dan kambing yang dimiliki oleh petani tersebut?
Jawaban:
Gunakan variabel x untuk menyatakan jumlah ayam dan y untuk menyatakan jumlah kambing.
Dari informasi yang diberikan:
- Jumlah total hewan ternak: x + y = 30
- Jumlah total kaki: 2x + 4y = 80
Kita memiliki sistem persamaan linear dua variabel:
- x + y = 30
- 2x + 4y = 80
Langkah 1: Substitusi atau eliminasi (terserah Anda) untuk menemukan nilai x atau y.
Mari gunakan metode substitusi. Dari persamaan pertama (x + y = 30), kita dapat mengisolasi x: x = 30 - y.
Kemudian substitusikan nilai x ke persamaan kedua: 2x + 4y = 80.
2(30 - y) + 4y = 80
60 - 2y + 4y = 80
2y = 20
y = 10
Langkah 2: Hitung nilai x menggunakan nilai y yang ditemukan.
Substitusi dengan nilai y ke persamaan awal (x + y = 30):
x + 10 = 30
x = 30 – 10
x = 20
Jadi, petani tersebut memiliki 20 ayam dan 10 kambing.
-
Contoh Soal Persamaan Linear Tiga Variabel
Contoh 1
Selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
3x + y - z= 10
2x - y + 3z = 5
x + 3y + 2z = 15
Pembahasan:
Langkah 1: Beri nama pada setiap persamaan.
Diberi sistem persamaan linear:
3x + y - z = 10……….(1)
2x - y + 3z = 5……….(2)
x + 3y + 2z = 15 ……….(3)
Langkah 2: Sederhanakan sistem persamaan dengan menghilangkan variabel y.
Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (2):
a. Persamaan (1) + Persamaan (2):
(3x + y - z) + (2x - y + 3z) = 10 + 5
5x + 2z = 15
Langkah 3: Substitusi persamaan (3) ke dalam persamaan hasil langkah 2.
Persamaan (3): x + 3y + 2z = 15
Substitusi (2x + 3z) ke (x + 3y + 2z):
x + 3y + 2z = 15
2x + 3z + 3y + 2z = 15
2x + 3y + 5z = 15
5x + 2z = 15 (persamaan ini sama dengan hasil langkah 2)
Langkah 4: Substitusi nilai z dari langkah 2 ke dalam persamaan (5).
Persamaan (5): 5x + 2z = 15
Substitusi z:
5x + 2 (15 - 2x) = 15
5x + 30 - 4x = 15
x + 30 = 15
x = 15 – 30
x = -15
Langkah 5: Substitusi nilai x dari langkah 4 ke dalam persamaan (2) atau (3) untuk mendapatkan nilai y.
Substitusi x ke (3):
-15 + 3y + 2z = 15
3y + 2z = 30
y + 2z = 10
(persamaan ini kita gunakan untuk langkah selanjutnya)
Langkah 6: Substitusi nilai y dari langkah 5 ke dalam persamaan (1) untuk mendapatkan nilai z.
Persamaan (1): 3x + y - z = 10
Substitusi y dari (y + 2z = 10):
3x + (10 - 2z) - z = 10
3x + 10 - 2z - z = 10
3x - 3z = 0
x - z = 0
Langkah 7: Substitusi nilai x dari langkah 4 ke dalam persamaan (6) untuk mendapatkan nilai z.
Substitusi x:
-15 - z = 0
z = -15
Langkah 8: Substitusi nilai z dari langkah 7 ke dalam persamaan (5) untuk mendapatkan nilai y.
Substitusi z:
y + 2z = 10
y + 2(-15) = 10
y - 30 = 10
y = 10 + 30
y = 40
Jawaban Akhir:
Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah x = -15, y = 40, dan z = -15. {(-15,40,-15)}
Contoh 2
Diketahui sistem persamaan linear:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20
x + 4y + 2z = 15
Pembahasan:
Beri nama pada setiap persamaan:
2x + 3y - z = 20…………(1)
3x + 2y + z = 20…………(2)
x + 4y + 2z = 15…………(3)
Sederhanakan sistem persamaan dengan menghilangkan variabel z:
Persamaan (1) + Persamaan (2):
(2x + 3y - z) + (3x + 2y + z) = 20 + 20
5x + 5y = 40
x + y = 8
Kali persamaan (3) dengan 2 dan persamaan (1) dengan -1, lalu jumlahkan untuk menghilangkan variabel z:
2x + 8y + 4z = 30
-2x - 3y + z = -20
5y + 5z = 10
y + z = 2
Substitusi y + z = 2 ke dalam x + y = 8
x + 2 = 8
x = 8 – 2
x = 6
Substitusi nilai x yang telah ditemukan ke dalam persamaan x + z = 2:
6 + z = 2
z = 2 – 6
z = -4
Jadi, sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah x = 6, y = 2, dan z = -4, yang dapat ditulis sebagai himpunan penyelesaiannya {(6, 2, -4)}.
Contoh 3:
Selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
2x + y - z = 10
3x - 2y + 2z = 5
x + 4y + 2z = 15
Pembahasan:
Langkah 1: Beri nama pada setiap persamaan.
Diberi sistem persamaan linear:
Persamaan (1): 2x + y - z = 10
Persamaan (2): 3x - 2y + 2z = 5
Persamaan (3): x + 4y + 2z = 15
Langkah 2: Gunakan eliminasi untuk mencari nilai variabel z.
Mari eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2):
a. Persamaan (1) + Persamaan (2):
(2x + y - z) + (3x - 2y + 2z) = 10 + 5
5x - y + z = 15
Langkah 3: Substitusi persamaan (3) ke dalam persamaan hasil langkah 2.
Persamaan (3): x + 4y + 2z = 15
Substitusi (x + 4y) ke (5x - y + z):
x + 4y + 2z = 15
5x - y + z + 2z = 15
5x - y + 3z = 15
5x - y = 15 - 3z
Langkah 4: Substitusi nilai y dari langkah 2 ke dalam persamaan (6).
Substitusi y:
5x - (4x - 6) = 15 - 3z
5x - 4x + 6 = 15 - 3z
x + 6 = 15 - 3z
x = 15 - 3z – 6
x = 9 - 3z
Langkah 5: Substitusi nilai x dari langkah 4 ke dalam persamaan (7).
Substitusi x:
9 - 3z - y = 15 - 3z
- y = 15 - 3z - 9 + 3z
- y = 6
Langkah 6: Substitusi nilai x dan y dari langkah 4 dan 5 ke dalam persamaan (1) untuk mendapatkan nilai z.
Persamaan (1): 2x + y - z = 10
Substitusi x dan y:
2(9 - 3z) + 6 - z = 10
18 - 6z + 6 - z = 10
24 - 7z = 10
-7z = 10 – 24
-7z = -14
z = -14-7
z = 2
Langkah 7: Substitusi nilai z dari langkah 6 ke dalam persamaan (8) dan (9) untuk mendapatkan nilai x dan y.
Substitusi z:
x = 9 - 3z
x = 9 - 3(2)
x = 9 – 6
x = 3
y = 6
Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah x = 3, y = 6, dan z = 2.
Contoh 4:
Selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
x+ y + z = 6
2x - y + 3z = 12
3x + 2y + 2z = 16
Pembahasan:
Langkah 1: Beri nama pada setiap persamaan.
Diberi sistem persamaan linear:
x+ y + z = 6 ……(1)
2x - y + 3z = 12……(2)
3x + y+ 2z = 16……(3)
Langkah 2: Gunakan eliminasi untuk mencari nilai variabel z.
Mari eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2):
a. Persamaan (1) + Persamaan (2):
(x + y + z) + (2x - y + 3z) = 6 + 12
3x = 18
x = 6
Langkah 3: Substitusi nilai x dari langkah 2 ke dalam persamaan (3).
Persamaan (3): 3x + y + 2z = 16
Substitusi x:
3(6) + y + 2z = 16
18 + 2y + 2z = 16
2y + 2z = -2
y + z = -1 ... (4)
Langkah 4: Substitusi nilai y dari langkah 3 ke dalam persamaan (4).
Substitusi y:
y + z = -1
z = -1 – y
z = 1 + y... (5)
Langkah 5: Substitusi nilai z dari langkah 4 ke dalam persamaan (5).
Substitusi z:
z = 1 + y
Langkah 6: Substitusi nilai x dan z dari langkah 2 dan 5 ke dalam persamaan (1) untuk mendapatkan nilai y.
Persamaan (1): x + y + z = 6
Substitusi x dan z:
6 + y + (1 + y) = 6
6 + y + 1 + y = 6
2y + 7 = 6
2y = -1
y = - 12
Langkah 7: Substitusi nilai y dari langkah 6 ke dalam persamaan (5) untuk mendapatkan nilai z.
Substitusi y:
z = 1 + y
z = 1 - 12
z = 12
Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah x = 6, y = -12, dan z = 12
Dengan demikian, pemahaman tentang persamaan linear pada tingkat kelas VIII dan X bukan hanya menjadi bagian integral dari kurikulum matematika, tetapi juga merupakan pondasi penting dalam pengembangan pemikiran analitis dan aplikasi matematis di masa depan siswa.
